数学史话之比例天王欧多克斯

数学史话之比例天王欧多克斯

在芝诺之后,古希腊最伟大的哲学家柏拉图建立了世界闻名的柏拉图学园。学园创立不久,就成为当时的思想中心,许多学者慕名而至。柏拉图非常推崇数学的严密逻辑和美感,认为数学是锻炼人思维的最佳途径,于是将懂数学作为进入学园学习的必要条件。柏拉图不是数学家,但他创立的柏拉图学园却以其独特的风格培养了许多杰出数学家。因此人们称柏拉图为数学家的创造者。而我们本文的主角欧多克斯就曾经在柏拉图学院学习过。

所谓的比例论就是欧多克斯首先提出了现在被表述为对于任意两个正数a,b,必存在自然数n,使得na>b成立这一重要的公理。运用公理法,欧多克斯建立了比例理论,其中包含了相当严密的实数定义。他引入量的概念,指出它代表线段、角、时间、面积、体积等能够连续变化的东西,而不是具体的数。由此而发,他定义了两个量的比,这样就把可公度比与不可公度比统一了起来。这样就处理了无理量的问题,解决了因毕达哥拉斯学派发现的不可通约量造成的第一次数学危机。

欧多克斯还研究了中末比的问题,即将一已知直线分成两部分,使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。小线段与大线段之比即我们所熟知的黄金分割比,当时被称为中末比。帕索斯费雷拉若设大线,小线段长度为X,则整个线+X,根据题意可得到方程:X+X+1=0,其正根为,即所谓中末比,欧多克斯发现了这种分割的许多特殊性质。黄金分割被广泛地应用于绘画、建筑,成为人们构造优美造型的最佳选择。黄金分割还具有另外一个赫赫有名的应用,那就是用于优选法,被称为0.618法。从20世纪70年代在我国推广,取得了很大成功。著名天文学家开普勒曾说:毕达哥拉斯定理和中末比是几何中的双宝。前者好比黄金,后者堪称珠玉。

欧多克斯的另一个重要贡献是他利用穷竭法来求复杂几何图形–一个曲面或者由曲面围成的图形–的面积和体积。他用一系列已知的基本图形不断逼近不规则图形,使之无限接近原图形,帕索斯费雷拉比如用圆内接正多边形逼近圆,用欧多克斯的话说就是这个多边形从圆的内部穷竭了圆。他利用这种方法证明了:两圆面积之比等于其半径平方之比;两球体积之比等于其半径的立方之比等命题。穷竭法是现代极限概念的几何先驱,同时也是微积分的核心方法。

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